Question

平面向量 向量a=(根号下3，-1），向量b=（1/2，根号下3/2，若存在不同时为0的实数k和t

向量x=向量a+(t^2-3)*向量b,向量y=-k向量a+t向量b,且向量x垂直向量y,试确定函数k=f(t)的单调区间。 请给出详细过程 谢谢 感激不尽

Answer 1

O(∩_∩)O哈！正好是我们寒假作业
显然 a.b=(sqrt(3),-1).(1/2,sqrt(3)/2)=sqrt(3)×1/2+(-1)×sqrt(3)/2＝0
即 a垂直b
a.a=4; b.b=1(其中“.”表示向量内积的点乘）
由向量x垂直于向量y得
x.y=-k*(a.a)+t*(a.b)+(t^2-3)*(b.a)+(t^2-3)*t*(b.b)=-4k+t^3-3t=0
故 k=1/4*(t^3-3t)
令 dk/dt=0,即 1/4*(3*t^2-3)=0,解得 t= -1 和 t=1.
t<-1时 dk/dt>0， 增函数，
-1<t<1时 dk/dt<0， 减函数
t>1 时 dk/dt>0, 增函数
故 单调增区间是 (-无穷，－1] 和 [1，+无穷）
单调减区间是 [－1，1]

Answer 2

a，b共线。如果a＝0. 有1a+0b＝0，

如果a≠0，则a＝kb ,1a+（-k）b＝0.

a，b共线,则存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a+λ2b=0 .

反之。如果存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a+λ2b=0 .

不妨设λ1≠0。则a＝（-λ2/λ1）b。a,b共线。

Answer 3

1，因为向量x与向量y垂直，所以向量x*向量y=0
2，向量a与向量b乘积经计算为0，即向量a*向量b=0
所以由 向量x*向量y=-k*（a的平方）+t*（2t-3）（b的平方）
=-4k+4分之7*t（2t-3）
=0
即，k=16分之7*t（2t-3）
（负无穷，0）和（2分之3，正无穷）是递增区间
（0,2分之3）是递减区间