Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1的左焦点为F，O为坐标原点（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程

（2）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的方程。

Answer 1

解：1、椭圆方程：x²/2+y²=1
a²=2,b²=1,c²=a²-b²=1
c=1
点F（-1，0）
那么圆的中心在x=(-1+0)/2=-1/2上
左准线x=-a²/c=-2
半径=｜-2+1/2｜=3/2
设圆心（-1/2，y）
√(-1/2-0)²+(y-0)²=3/2
1/4+y²=9/4
y²=2
y=±√2
所以圆的方程：(x+1/2)²+(y+√2)²=9/4或(x+1/2)²+(y-√2)²=9/4
2、设直线AB为：x=my+1
代入x²/2+y²=1
(my+1)²+2y²=2
(m²+2)y²+2my-1=0
y1+y2=-2m/(m²+2)
x1+x2=m(y1+y2)+2=-2m²/(m²+2)+2=4/(m²+2)
AB中点（2/(m²+2)，-m/(m²+2))
代入x+y=0
2/(m²+2)-m/(m²+2)=0
2-m=0
m=2
直线AB：x=2y+1
即x-2y-1=0

Answer 2

2、设直线AB为：x=my+1
代入x²/2+y²=1
(my+1)²+2y²=2
(m²+2)y²+2my-1=0
y1+y2=-2m/(m²+2)
x1+x2=m(y1+y2)+2=-2m²/(m²+2)+2=4/(m²+2)
AB中点（2/(m²+2)，-m/(m²+2))
代入x+y=0
2/(m²+2)-m/(m²+2)=0
2-m=0
m=2
直线AB：x=2y+1
即x-2y-1=0