Question

解析几何代数题，求助！！

已知椭圆x2/4+y2/3=1，过点(0,-2)的直线l交椭圆于A,B两点,交X轴于P点,点A关于X轴,的对称点为C,直线BC交X轴,于Q点,2)探究|OP|·|OQ|是否为常数?

Answer 1

这种题一般结论都是常数
直线AB垂直于X轴，即AB重合于Y轴的特殊情况不考虑
以下设AB的斜率存在，且为k，设直线AB的方程为L：y=kx-2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x1,-y1)，
P(m,0)（易知m=2/k），Q(n,0)，直线BC的斜率为p，
则联立L的方程：y=kx-2 （1） 与椭圆的方程：x^2/4+y^2/3=1 （2） 可得关于 x的方程 (4k^2+3)x^2-16kx+4=0 （3），x1,x2 为方程（3）的两根，由韦达定理，x1+x2=16k/(4k^2+3)，x1*x2=4/(4k^2+3)
然后根据直线BC的斜率有式子 p=(yB-yQ)/(xB-xQ)=(yB-yC)/(xB-xC)，即p=y2/(x2-n)=(y2+y1)/(x2-x1)，从而有 n=(x1*y2+x2*y1)/(y1+y2)=(2k*x1*x2-2(x1+x2))/(k(x1+x2)-4)=2k，
从而mn=(2/k)*(2k)=4，|OP|*|OQ|=|mn|=4为定值

Answer 2

提示：可设：A（2cost，√3 sint），则C(2cost，-√3 sint) ，L（AB）：y+2=（√3 sint+2）*x /2cost，故：p（4cost/(2+√3 sint),0） |OP|=|4cost/(2+√3 sint)|
同理 设:B（2cosp，√3 sinp）则：L（BC）：y+√3 sint=[(√3 /2 )*(sinp+ sint)/(cosp-cost)]*(x-2cost) ,令y=0得|OQ|=|2sint(cosp-cost)/(sinp+ sint) +2cost|
|OP|*|OQ|=|4cost/(2+√3 sint)|*|2sint(cosp-cost)/(sinp+ sint) +2cost|
很显然， |OP|*|OQ|的值与t，p有关，非常数