Question

一道数学题 如果x²+y²=1，则3x-4y的最大值是多少？ 用不等式的知识做

答案是5

Answer 1

1。设X=cosθ,y=sinθ
3cosθ-4sinθ=5sin(θ+γ)≤5
γ为一辅助角，使右式展开=左式，解题时无需注明。此处γ=arctan-¾
2。利用柯西不等式
（x²+y²）（a²+b²）≥（ax+by）²
此题a=3 b=-4
可知1×（3²+（-4）²）≥（3x-4y）²
3x-4y≤5

Answer 2

1）三角知识
x=sina
y=cosa
3x-4y=3sina-4cosa=5sin（a+b）最大值5
2）画图，3x-4y=t。y=0.75x-0.25t为一条直线
即求直线和圆有交点时，t最大值，画图知在下方切线t最大，解得t=5
3）设3x-4y=t，x²=(t+4y)²/9
x²+y²=1=（t+4y)²/9+y²得（0.8t+5y)²+9t²/25=9
当0.8t+5y=0时，t最大为5
∴3x-4y的最大值为5

Answer 3

我只说方法，前面一个等式就是一个以原点为圆心，半径为1的圆上的点。得知|x|<=1,|y|<=1.
即有-1<=x<=1,-1<=y<=1,
推出：-3<=3x<=3;
-4<=-4y<=4.
两式相加则有-7<=3x-4y<=7
故最大什为7

Answer 4

设3x-4y=a
3x=a+4y
9x²=(a+4y)²
即9-9y²=(a+4y)²
∵x²+y²=1，x²≥0且y²≥0
∴0≤y²≤1
∴-1≤y≤1，0≤(a+4y)²≤9
∴-3≤a+4y≤3
∴-7≤a≤3
∴3x-4y的最大值为3

原创回答，切勿抄袭……

Answer 5

令X=cosT，Y=sinT
即求：3cosT+4sinT的最大值
3cosT+4sinT=√5（（3／√5）cosT+(4√5)sinT)=√5sin(T+m)
所以3x-4y的最大值为√5