Question

初二三角形题求解！

D、E是△ABC内两点。求证AB+AC>BD+DE+EC

Answer 1

延长线段DE和线段ED分别交AC、AB与G、F
由三角形两边之和大于第三边可以知道：

AF+AG>FG FG=FD+DE+EG 所以AF+AG>FD+DE+EG (1)
FB+FD>BD (2)
GC+GE>EC (3)
(1),(2),(3)式，左边+左边，右边+右边 可以得：

（AF+AG）+（FB+FD）+（GC+GE）>(FD+DE+EG)+BD+EC
（AF+FB）+FD+（AG+GC)+GE>FD+DE+EG+BD+EC
AB+FD+AC+GE>FD+DE+EG+BD+EC
AB+AC>FD+DE+EG+BD+EC-FD-GE
AB+AC>+DE+BD+EC

Answer 2

证明：延长BD,CE交于O，延长BD交AC于F,
在△ABF中，AB+BF>BF,即AB+BF>BO+OF(1)
在△OCF中，OF+FC>OC,(2)
(1)+(2),
AB+AC>OB+OC,
在△ODE中，OD+OE>DE,
所以OD+OE+BD+CE>BD+DE+EC,
即OB+OC>BD+DE+EC
所以AB+AC>BD+DE+EC(不等式的传递性)

Answer 3

延长BD 与AC交与K，延长CE与BK交与M
△AbK中
AB+AK＞BD+DM+MK（1）
△CMK中
CK+MK＞EM+CE（2）
在△DEM中
EM+DM＞DE（3）
（1）+（2）+（3）
AB+AK+CK+MK+EM+DM＞BD+DM+MK+EM+CE+DE
AB+AC >BD+DE+EC

Answer 4

BD交AC于M，延长DE交AC于N
AB+AM大于BD+DM
DM+MN大于DE+EN
EN+NC大于EC
比上三式相加得
AB+AM+DM+MN+EN+NC大于BD+DM+DE+EN+EC
AB+AC大于BD+DE+EC

Answer 5

延长AD、CE相交于F
∵F在△ABC内，
∴AB>BF,AC>CF
∴AB+AC>BF+CF=BD+CE+DF+CF
∴AB+AC>BD+CE+DF+CF
∵在△DEF中，DF+CF>DE
∴AB+AC>BD+DE+EC

Answer 6

延长BD交CE延长线于点F,交AC于点H， 根据三角形两边之和大于第三边得 DF+FE＞DE,
即BD+DF+EF+CE＞BD+DE+CE 即BF+CF＞BD+DE+CE
同理AB+AH＞BH, FH+CH＞CF,相加得AB+AH+FH+CH＞BH+CF（=BF+FH+CF)
即AB+AC＞BF+CF 得 AB+AC＞BD+DE+CE