Question

初二三角形题求解

AB=AC D是BC上任意一点。DE⊥AB DF⊥AC CG⊥AB
（1）猜想DE、DF、CG数量关系，并证明
（2）如改为D为BC延长线上任意一点，DE，DF，CG有什么关系，并证明
（3）如D为CB延长线上一点，DE，DF，CG有什么关系？

Answer 1

CG=DE+DF,
连接AD，S△ABC=S△ABD+S△ACD 1/2AB▪CG=1/2AB•DE+1/2AC•DF=1/2(DE+DF)•AB
得CG=DE+DF
DE=CG+DF
DF=CG+DE

Answer 2

（1）CG=DE+DF，证明：三角形ABC面积=三角形ABD面积+三角形ADC面积，及
（AB*CG）/2=（AB*DE）/2+（AC*DF）/2，因为AB=AC，代入可知：CG=DE+DF

（2）CG=DE-DF，证明：三角形ABC面积=三角形ABD面积-三角形ADC面积，及
（AB*CG）/2=（AB*DE）/2-（AC*DF）/2，因为AB=AC，代入可知：CG=DE-DF

（3）CG=DF-DE，证明：同上。

Answer 3

（1）DE+DF=CG
证明: 过D作DH⊥CG于H
∴四边形GEDH是长方形，DE=GH，∠HDC=∠B
∵AB=AC
∴∠HDC=∠DCF
∵∠DHC=∠CFD=90°, DC=CD
∴ △DFC ≌△CHD (AAS)
∴ CH=DF
∴ CG=CH+HG=DF+DE
故： CG=DF+DE
（2）如改为D为BC延长线上任意一点，DE＝DF+CG
证明： 过C作CH⊥DE于H
∴四边形EGCH是长方形，HE=CG，∠DCH=∠B
∵AB=AC
∴∠DCH=∠BCA=∠DCF
∵∠DHC=∠CFD=90°, DC=CD
∴ △FCD ≌△CHD
∴ DH=DF
∴ DE=DH+HE=DF+CG
故：DE=DF+ CG
（3）如D为CB延长线上一点，DE=DF+CG