Question

初二数学题，要过程。

三角形ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P做直线MN平行BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）求证：PE=PF
(2)当点P在边AC上运动时，四边形BCEF可能是菱形吗？说明理由。

Answer 1

（1）因 MN平行BC 所以 ∠PEC=∠ECB=∠FCD,
因为EC为∠BCA的角平分线 所以 ∠ECB=∠ECP ，
因为FC为∠BCA的外角平分线，所以∠PCF=∠PCD,
由上面三个等式 可得：∠PEC=∠ECP,∠PFC=∠PCF，得三角形PEC和三角形PCF为等腰三角形
则 PE=PC,PF=PC,
即PE=PF，得证
(2)不可能
首先要熟悉菱形的概念 一组邻边相等的平行四边形是菱形，
第一题 已经证明PE=PF=PC,就是说在P点一点的过程的这个等式是恒成立的，在三角形的概念里有 两边之和永远大于第三条边
即PF+PC永远大于FC,
又因为EP=PC
所以PF+ EP永远大于FC
即 四边形BCEF不可能是菱形

Answer 2

1.∵∠BCA+∠ACD=180 CE和CF是角平分线
∴∠ECF=90
∴△ECF是直角三角形
∵MN‖BC
∴∠PEC=∠ECB
∵∠ECB=∠ECP
∴∠PEC=∠ECP
∴PE=PC
∴PC是斜边上的中线
∴PE=PF
2.不可能△ECN永远是直角三角形，直角边永远小小于斜边