Question

沪杭高速公路全长166千米，（题目较长，请耐心）

沪杭高速公路全长166千米，假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/小时且不高于120千米/时的速度均匀速行驶到杭州，已知该汽车每小时的运输成本y（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数的定义域；（2）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？

Answer 1

汽车每小时运输成本y(v)=0.02(v^2)+200，其中v不低于60且不高于120，全程运输完成时间为t=s/v=166/v，3.32全程运输成本为y=y(v)*t=(0.02v^2+200)*166/v=3.32v+33200/v，v属于(60,120)，整理式子y=3.32v+33200/v，得v^2-(y/3.32)v+10000=0，令2k=y/3.32，得v^2-2kv+10000=0，整理得(v-k)^2=k^2-10000，题中即求k的最小值。因为(v-k)^2必不小于0，则k^2-10000必不小于0，k^2必不小于10000，欲k最小则k^2=10000，k=100，则由2k=y/3.32得y=664，此时v=k=100，由此也看出全程运输成本y是关于速度v的一个反抛物线函数，函数顶点在v=100处，将v的区间(60,120)带入计算得区间(60,120)中当v=60时y最大为752.53，则：
问题（1）全程运输成本y=3.32v+33200/v，v定义域为(60,120)，y定义域为[664，752.53)；
问题（2）汽车应以100千米/时行驶全程运输成本最小，最小值为664元