Question

一道关于导数题目

已知函数f(x) =4ln(x -1)+x^2/2-(m+2) x+3/2-m, x∈R.（其中为m常数） 定义域为(0，+无穷大)（I）若函数y=f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围.解：f'(X)=[x^2-(M+3)X+M+6]/(X-1）若有两个极值点一是f(X)导数f'(X)判别式大于0，二是对称轴>1，为什么还需要1-(M+3)+m+6>0
ZXy335说的不明白？？？为什么不能保证一根>1

Answer 1

我们只需看分子的函数设为g(x)=x^2-(m+3)X+m+6，必然是开口向上的抛物线
Δ>0保证g(x)=0有两个不相同的实根；
x=(m+3)/2为对称轴，大于1保证一个根大于(m+3)/2，一个根小于(m+3)/2；
1-(m+3)+m+6=g(1)，也就是x=1时，g(x)的值。
因为f(x)的定义域，也就是g(x)的定义域是(1,+∞)，要保证两个根都是大于1的，只能左边的根比1大，就左根介于1和(m+3)/2之间。又图像是开口向上的抛物线，到了x=1时自然g(1)>0！！否则，必然左根是无意义的，不在定义区间内，与题干矛盾。

Answer 2

定义域实际上为(1，+无穷大)
f'(X)=[x^2-(M+3)X+M+6]/(X-1）=0
x^2-(M+3)X+M+6=0
x有两个值
判别式大于0
对称轴>1
但还是不能保证一根>1
所以要加1-(M+3)+m+6>0