Question

如图，在⊙O中，弦AB等于半径，延长OA到C，使AC=OA。 （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）在⊙O上是否存在一点D，使BD=BC，如果不存在，请说明理由；如果存在，请画出图形，并求出∠CBD的度数

Answer 1

1、证明：因为AB=OB=OA AC=OA 所以BA=1/2OC 所以∠CBO=90° 又因为OA=OB=AB 所以三角形ABO是等边三角形 所以∠ABO=60° 所以∠CBA=90°-60°=30°=1/2∠BOA 所以BC是⊙O的切线
2、存在 因为D在圆上 所以OB=OD 又因为BD=BC 在直角三角形OBC中，∠ABO=60° 所以BC=√3BO 所以BD=BC=√3BO 又因为cos∠OBD=(OB^2+BD^2-OD^2)/2OB*BD=√3/2 所以∠OBD=30°所以∠CBD=∠OBD+∠CBO=30°+90°=120°

Answer 2

(1)AC=AO=AB=>∠CBO=90°（如果三角形一边的中线等于它所在边的一半，那么这个三角形是直角三角形）=>BC为圆O的切线
（2）延长AO交圆O于D，则BD=BC,∠CBD=120°
AB=R=>∠AOB-60°=>∠BOD=120°=>∠OBD=∠ODB=30°=∠C=>BD=BC且∠CBD=120°