Question

一道高三数学题

已知f(x)=lnx-ax2-bx
f(X)的图像与x轴相交于A(x1,0)B(x2,0)(x1小于x2）两点AB的中点为C（x0,0），求证f(x)在x0处的导数小于0！

Answer 1

首先证明一个引理，对于所有的k，0<k<1，有2-lnk*(k+1)/(k-1)<0；引理证明如下：
2-lnk*(k+1)/(k-1)<0 等价于 lnk-2+4/(k+1)<0； 设函数F(k)=lnk-2+4/(k+1)，0<k<=1, F’(k)=1/k-4/(k+1)^2=k*(k-1)^2/(k+1)^2>=0，从而F(k)在(0,1]上单调递增，从而0<k<1时，F(k)<F(1)=0，从而引理得证。
由题意 x1,x2为方程lnx-ax^2-bx=0的两个根，从而有，（1）lnx1-ax1^2-bx1=0；（2）lnx2-ax2^2-bx2=0； 从而得到（3）ax1^2+bx1=lnx1；（4）ax2^2+bx2=lnx2； （1）（2）联立得到b=(lnx1-ax1^2)/x1=(lnx2-ax2^2)/x2，进而得到 （5）a*x1*x2=(x2*lnx1-x1*lnx2)/(x1-x2)；
x0=(x1+x2)/2，f’(x)=1/x-2ax-b，从而f’(x0)=2/(x1+x2)-a(x1+x2)-b；
从而有(注意0<x1<x2)：
f’(x0)<0 等价于 2/(x1+x2)-a(x1+x2)-b<0 等价于 2-a(x1+x2)^2-b(x1+x2)<0 等价于 2-(ax1^2+bx1)-(ax2^2+bx2)-2a*x1*x2<0 将（3）（4）（5）式代入可得（这里要经过几步变换） 等价于 2-ln(x1/x2)*(x1+x2)/(x1-x2)<0 等价于 2-lnk*(k+1)/(k-1)<0，这里k=x1/x2，满足0<k<1，从而由引理知道成立，从而f’(x0)<0，证毕。