Question

f(x)=(1/3)x3-a2x满足，对于任意的x1,x2 属于【0，1】都有f(x1)-f(x2)的绝对值小于等于1恒成立，则a的取值

f(x)=(1/3)x3-a2x满足，对于任意的x1,x2 属于【0，1】都有f(x1)-f(x2)的绝对值小于等于1恒成立，则a的取值范围

Answer 1

若函数f（x）=x3-a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是解：因为函数f（x）=x3-a2x所以f。（x）=x2-a2=（x-a）(x+a)当a>1或a<-1时，则f。（x）=x2-a2在[0，1]上恒小于0所以函数f（x）=x3-a2x在[0，1]上单调递减若想x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立只要f（0）-f（1）≤1即可，即0-（-a2）≤1所以-≤a<-1或1<a≤；当-1≤a<0时，则f。(x)=x2-a2在(0，-a)上小于0，在(-a，1)上大于0所以函数f(x)=x3-a2x在(0，-a)上单调递减，在(-a，1)上递增若想x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立只要f（0）-f（-a）≤1且f（1）-f（-a）≤1即可，即-a3≤1且-a2-a3≤1因为-1≤a<0。显然-a3≤1且-a2-a3≤1都成立所以-1≤a<0成立；当0≤a≤1时，则f。(x)=x2-a2在(0，a)上小于0，在(a，1)上大于0所以函数f(x)=x3-a2x在(0，a)上单调递减，在(a，1)上递增若想x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立只要f（0）-f（a）≤1且f（1）-f（a）≤1即可，即a3≤1且-a2+a3≤1因为-1≤a<0。显然a3≤1且-a2+a3≤1都成立所以0≤a≤1成立；所以a的取值范围是【-2/√3，2/√3】

Answer 2

123