Question

初中奥数题

1：能否找到16个正整数，使其中任意9个数的和都不能被9整除？如果能，请把它们写出来，并说明所写数的特征；如果不能，请说明理由。能否找到17个正整数满足上述要求？为什么？
2：已知关于x，y的方程组2x+3y=-5、3x+7y=m，当-18＜m＜-10时有整数解，则x^2+xy+y^2的值等于__________
3：对任意两个正整数x，y，定义一个※新运算，即x※y=2(2xy-x-y)。若正整数a，b满足a※b=888，则这样的有序对(a,b)共有几对
4：在平面直角坐标系中，有A(0,5),B(5,0),C(0,3),D(3,0),且AD与BC相交于点E，求△ABE的面积
5：
①：在图1（图片如下）中的5个空白圈内各填一个数，使相邻两圈中两数的平均数恰为与该两圈紧邻的外圈中的数（例如以图(2)来说，就是c+d/2=A）
②：探索：按第①题填数的要求，在图(2)（图片如下）中要使内圈的数中出现两数相等，外圈中的已知数应具备什么条件？

图片粗糙请勿在意，需解答过程，麻烦了。

Answer 1

1、解：例如，其中8个被9除都余1，另8个数被9整除．这样的16个数中，任何9个都不能被9整除．
由于任取5个数，其中一定有3个数其和为3的倍数，取这5个数被3除的余数，只能是1，2，0．若5个数被3除的余数中，这三种2都有，则每种余数的数各取一个，其和是3的倍数，如果这5个数被3除只有2种余数，则由抽屉原理知，必有3个数被3除的余数相同．取此3个数，其和是3的倍数．
于是，17个数一定能组成5组，每组3个数，其和是3的倍数．
把这5组数的和为3a，3b，3c，3d，3e．考虑a、b、c、d、e这5个数，由上证，其中必有3个数的和为3的倍数，不妨设a+b+c是3的倍数．于是3a+3b+3c是9的倍数，此时，取和为3a、3b、3c的9个数，其和为9的倍数．即任取17个整数，其中一定可以找到9个数，其和为9的倍数．因此找不到17个满足上述要求的正整数．
2、解：由题意不难推出x、y分别与m的关系
即： 5x=-35-3m 5y=2m+15
x=-7-3m/5 y=2m/5+3
又因为-18＜m＜-10时有整数解，即知m能被5整除，所以m=-15
所以x=2 y=-3
则x^2+xy+y^2的值等于2^2+2*3+(-3)^2=4+6+9=19
3、解：因为x※y=2(2xy-x-y)，所以
4、解：S△OAD=S△OBC=152
S△AEC=S△BED,S△OEC=S△OED
设S△AEC=x，S△OEC=y
则xy =23 2y=3x
又2y+x=152 ，∴4x=152 ，x=158
S△ABE=S△ABC-S△AEC=5-158 =258
∴填258
5、

Answer 2

另一个数是除5以外其它数之和的尾数
1+2+3+++++1998-5=(1+1998)*1998/2-5=1996996
另一数是6

Answer 3

是用火柴棍摆成边长分别为1.2.3的正方形，依此规律，摆成边长为4的正方形，需要的火柴棍数为（40），若摆成边长为n的正方形，需要的火柴棍数为（2n*(n+1)）

Answer 4

由已知条件得：x＋y=6，xy=z
2＋9，由韦达定理知x、y可看作方程
t^2＋6t＋z^2＋9=0的两个根，
又已知x、y都是实数，故方程的判别式△≥0，
即6^2－4z^2＋9≥0，所以－4z^2≥0得z
2≤0，
而z是实数，必有z^2≥0，
所以z^2=0，则z=0，此时△=0，
于是原方程有两个相等实根，即x=y
21x^4-28x^3-70x^2+49x+1
=(x^2+x-1)(21x^2-49x)+1
=1

Answer 5

连接PC，过点C做CD⊥AB交AB于点D
∵∠ACB=∠PFC=∠PEC=90º
∴四边形PECF矩形
∴PC=EF
∵AC=1，BC=2
∴AB=√5
∵AC*BC=AB*CD
∴CD=2√5/5
∵CD≤PC=EF
∴EF的最小值是2√5/5