Question

直线l与椭圆x^2/4+y^2=1交于P,Q两点，已知直线斜率为1，则弦PQ中点的轨迹方程为

Answer 1

解：椭圆方程：x²+4y²=4，长半轴a=2
设P（x1，y1）Q（x2，y2）中点M（x，y）
(y1-y2)/(x1-x2)=1
x1²+4y1²=4
x2²+4y2²=4
x1²-x2²+4(y1²-y2²)=0
(x1+x2)+4(y1+y2)(y1-y2)/(x1-x2)=0
2x+8y=0
x+4y=0即为所求
直线与椭圆联立，则x=±4√5/5
所以-4√5/5<x<4√5/5

Answer 2

解：设直线L方程为y=x+m,与椭圆方程联立消去x:5y²-2my+m²-4=0
y1+y2=2m/5
x1+x2=y1-m+y2-m=-8m/5,
设PQ中点M坐标为(x,y),则x=(x1+x2)/2=-4m/5,y=(y1+y2)/2=m/5
两式相除消去m得：x=-4y
所以PQ中点轨迹方程为y=-0.25x,此直线与椭圆联立解得两端点横坐标为±4√5/5
所以弦PQ中点轨迹方程是线段y=-0.25x，-4√5/5<x<4√5/5