Question

物理竞赛题 高手进！！！

在舞台上 甲乙丙三位舞蹈演员分别从边长为a的正三角形出发，随舞曲节拍以平均速率v运动，以舞曲的若干拍为时间单位，在第一个时间单位内他们始终保持甲朝乙，乙朝丙，丙朝甲，在第二个时间段内，保持甲朝丙，丙朝乙，乙朝甲运动，若三位舞蹈演员以上述方式交替运动，求
经过多少时间她们三人相遇
每位演员进行的路程
我是初三啊
回答的怎么那么难啊
不过怎么计算相对速度啊？

Answer 1

这道题看你是要明白一个知识点还是做题。

所谓做题就是单看这道题。

画图，刚开始时三个演员在等边△的三个顶点上，相距分别都是a。
节拍就是单位时间，理解为计算中的1秒。
将速度分解可知，任意两个舞蹈演员靠近的相对速度为 V=v+v/2=3v/2
这是单看两个演员的情况，因为等边△成中心对称，所以任意选两个人都满足上述情况，即三个人的运动也满足上述情况所以t=S/V=2a/3v【注意大小写】
由于他们实际速度是v，所以由合速度与分速度的等时性可知，S‘=vt=2a/3

还有一种数学方法即是将矢量分解，因为不如物理方法简单，如果有兴趣我们可以在题外讨论！

所谓明白知识点就是这道题涉及到螺旋方程的推导，高中课本不要求掌握，但是适用于这道题，有兴趣可以看一下，不看以下推导对本题影响不大。

==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+

因为图形呈几何对称，而且每位演员与中心点（等边三角形的几何中心）角度始终保持π/6。所以这个运动可以归纳如下：
考虑当物体以恒定速度v绕固定点运动，其速度矢量与位移矢量夹角为定值α（0<α<π/2）设位移矢量初始值为r0，其转过一个【小】角度△φ后，其长度变化为-△r，由于α为定值，可得：
△r(φ)/△φ=-r(φ)cotα

联想辐射衰减方程dm(t)/dt=-m(t)λ
的解为m(t)=m0e^(-λt)，和它类似，极坐标中蜗牛移动的路径方程为r(φ)=r0e^(-φcotα)

这就是著名的对数螺旋方程，说明半径r在转过无限的角度后趋近于0，即一个质点经过有限长的时间走过有限的距离后能到达中心，但要转无穷多圈。
==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+==+

P.s：这道题是根据一道老竞赛题改编而成，原题就是把演员换成了蜗牛 - -b

希望对您有所帮助~！有不懂的可以百度hi我~~！

Answer 2

每一个时刻，3个人都在一个等边三角形上，而三角形边旋转边缩小，最后在中心缩小为一个点。
所以我们知道，3个点都有指向中心的速度，并且不会变，因为总速度不变。
v=v。cos30°，s=Lcos30°*2/3。所以，t=s/v。
路程即为 S=v。t

Answer 3

这个题主要考速度的分解,参考系的选取.以三人组成三角形为参照物,这样就可以看成三个人往中间跑,速度为人相对于地面速度面向三角中心的分速度.即V·cos30°.
a/2/cos30° = V·cos30°·t
这样时间就出来了
再由 s = V · t 就出来路程了
这个题额在高中物理竞赛辅导书上见过,也不知道是谁改编谁的.不过培养物理思维是物理题的中心目的,这位同学如此积极通过网络寻求答案,值得表扬.希望好好努力

Answer 4

我做过和这类似的题：三只蜗牛所在的位置构成边长l=60cm的正三角形，第一只朝第二只爬，2朝3爬，3朝一怕。v=50cm/min。问多久相遇
和你这是一样的，只是你转身以后就反了。把你那题三个人所进过的路径，每双数（就是第1次转身后到第三次转身前）段对称的折叠一次，就是把图形折叠、回来，和我这一题的蜗牛的路径是一样的。在极坐标中蜗牛的移动路径方程为r=（l/根号3）*e的（负根号3*fai）次方
总之，这题用转换的思想（把路径转换成这样的）再用微积分的思想（取detai x）
v‖=vcos30°
经过t=OA/v‖=2l/3v=2a/3v后相遇
我题中的l是三角形边长，就是l=a
O是正三角形的中心

我的题目，高中物理竞赛解题方法 力学部分，第一部分 物体的运动，第二讲 重要模型与专题 第5点，质点在动态多边形顶点相遇轨迹的思考。（第13-15页）

Answer 5

最后三个人肯定是同时聚在一点的，所以只要知道甲乙什么时候相遇就可以了，所以只要求出相对速度就可以了，而他们相向运动的相对速度等于V(1+cos60°)=3/2*V，所以时间为边长a除以这个速度，而路程等于这个时间乘以速度，所以答案为2/3*a