Question

已知P(3,4)在双曲线上，双曲线的一个焦点F(1,1)与该焦点对应准线的方程为x-y-2=0

Answer 1

对于这种情况，显然是旋转后的双曲线，所以不能够直接设出标准方程。在知道焦点与准线的情况下，应当采用双曲线的第二定义来处理。
温习一下双曲线的第二定义：平面内到定点F（c，0）的距离纸币等于常数e=c/a(c>a>0)的轨迹是双曲线，顶点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距p=b方/c
再温习一下点到直线的距离公式ax+by+c=0 x0,y0，则距离=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)。待下会用到。

不妨设点(x,y)为曲线上点。
焦准距即为F到直线的距离|1*1-1*1-2|/√(1+1)=√2 于是得到b方/c=(c方-a方)/c=√2 (1)
下面利用第二定义（|x-y-2|/√2）/（√(x-1)方+(y-1)方）=c/a (2) 将P（3，4）带入方程(2)
于是，就得到了有关a和c的两个方程(1)和(2)，解出a和c，再带入(2)就得到了双曲线的方程。

具体数据你自己算一算吧，反正不难算。
再补充一句，关于双曲线有时候会出现一些小陷阱，比如说题中第一句为“已知P(3,4)在单支双曲线上”就得考虑一下定义域的问题了。不过，对于旋转双曲线的情况来说，这种问题倒是少见，做题时稍稍留意即可。

Answer 2

答案根号26/3，过程是，2^2+3^2=13，再用点到直线距离公式|3-4-2|/根号2＝3/根号2，最后用第二定义公式，兄弟我用手机打的，可怜一下吧