Question

初三数学、相似三角形、动点问题、

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式：当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值

Answer 1

（1）∵∠AMN=90°∴∠AMB+∠NMC=90° ∵∠B=90° ∴∠BAM+∠AMB=90° ∴∠BAM=∠NMC∵∠B=∠C=90° ∴Rt△ABM∽Rt△MCN

（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN ∴AB：MC=BM：NC∴4：4-x=x：NC ∴NC=x-四分之x的平方
∴y=2×（4+x-四分之x的平方） 根据顶点公式y最大时x=2此时y=10

（3）过M作MP⊥AN交AN于P∵Rt△ABM∽Rt△AMN Rt△ABM∽Rt△MCN ∴∠BAM=∠MAN
∠B=∠APM ∠MNC=∠MNP AM=AM MN=MN ∴△ABM全等于△APM △MNC全等于△MNP
∴BM=MP MC=MP∴BM=MC=2 ∴x=2