Question

已知，椭圆C过点A(1,3/2)，两个焦点是（1，0)(1,0)

（1）求椭圆C的方程
（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个值

Answer 1

1、可设方程为：x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1，将A（1,3/2）代入得：1/a^2+9/4(a^2-1)=1
（4a^2-1)(a^2-4)=0，a=2（舍去a=1/2），椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1
2、设AE的斜率为t，则AF的斜率为-t，则有：AE：y=t（x-1)+3/2；AF：y=-t（x-1)+3/2，代入椭圆方程得：
AE：(4t^2+3)x^2-4t(2t-3)x+4t^2-12t-3=0，x=(4t^2-12t-3)/(4t^2+3)，y=t[(4t^2-12t-3)/ (4t^2+3)-1]+3/2=(-12t^2-6t)/(4t^2+3)+3/2；
AF：(4t^2+3)x^2-4t(2t+3)x+4t^2+12t-3=0，x=(4t^2+12t-3)/(4t^2+3)，y=-t[(4t^2+12t-3)/ (4t^2+3)-1]+3/2=(-12t^2+6t)/(4t^2+3)+3/2；
EF的斜率k=【(-12t^2-6t)/(4t^2+3)-(-12t^2+6t)/(4t^2+3)】/【(4t^2-12t-3)/(4t^2+3)-(4t^2+12t-3)/(4t^2+3)】=-12t/(-24t)=1/2