Question

设集合A={（x,y）|y²=x+1} , 求，在线等啊!!!!!

设集合A={（x,y）|y²=x+1} ,
B={（x,y）|4x²+2x-2y+5=0} ,
C={（x,y）|y=kx+b} 是否存在k,b(k,b属于自然数) 使（AUB）∩C=空集，证明你的结论

Answer 1

要使得（AUB）∩C=空集，
因为（AUB）∩C=（A∩C）U（B∩C）
即使得A∩C和B∩C为空集。
A∩C为空集即方程组y=kx+b和y²=x+1无解
所以将y=kx+b代入y²=x+1可得ky^2-y+b-k=0
要使得方程无解，即Δ=1-4k(b-k)<0
所以4k^2-4bk+1<0。
又因为B∩C为空集，即方程组y=kx+b和4x²+2x-2y+5=0无解
将y=kx+b代入4x²+2x-2y+5=0可得4x²+（2-2k）x+5-2b=0
要使得方程无解，即Δ=（2-2k）^2-4*4(5-2b)<0
所以（k-1）^2+8b<20
因为（k-1）^2≥0
所以8b<20
又因为k,b属于自然数，所以b=0，1，2（有的版本把0作为自然数）
当b=0时，4k^2-4bk+1=4k^2+1<0无自然数解
当b=1时，4k^2-4bk+1=4k^2-4k+1=（2k-1）^2<0无自然数解
当b=2时，由（k-1）^2+8b=（k-1）^2+16<20得（k-1）^2<4
所以k=0，1，2，（有的版本把0作为自然数）
当k=0时，4k^2-4bk+1=1<0无解
当k=1时，4k^2-4bk+1=-3<0符合题意。
当k=2时，4k^2-4bk+1=1<0无解
所以只存在k=1,b=2(k,b属于自然数) 使得（AUB）∩C=空集。