Question

高中必修2立体几何题

如图，在四棱锥O--ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π/4，OA⊥底面ABCD，OA=2，点M为OA的中点，点N为BC的中点。
（1)求证：直线MN‖平面OCD；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（3）求点B到平面OCD的距离.

Answer 1

我只写下思路和必要的式子，因为百度里面我不知道这么把数学符号打上去，见谅
（1）取AD的中点Q，连接MQ,NQ
在菱形中NQ平行CD，在三角形中MQ平行OD,可判定平面MNQ平行平面OCD，又因为MN属于平面MNQ，所以直线MN平行平面OCD
（2）异面直线AB与MD所成的角即为直线CD与MD所成的角。归入三角形MCD中解答
首先求MC，求MC则要求AC，求AC则在三角形ACD中应用余弦定理
AC²=1²+1²-2×1×1×COSπ/4=2－√2,MC²=AC²＋MA²=3－√2
然后在三角形MCD中，MC²=MD²+CD²－2×MD×CD×COS∠MDC
代入数据得∠MDC=π/3
（3）用体积法
V=Sabcd×OA÷3=AD×CD×SIN（π/4）×OA÷3=√2/3
V/2=d×S△OCD÷3
求S△OCD，OD=√5,CD=1,OC²=OA²+AC²=6-√2
仍然用余弦定理，OC²=OD²+CD²－2×OD×CD×COS∠ODC
解得COS∠ODC=√10/10，所以SIN∠ODC=3√10/10
所以S△OCD=3√2/4，所以d=（√2/3）÷2×3×4÷（3√2）=2/3