Question

已知函数f(x)>0,且满足f(xy)=f(x)*f(y),若x>1,则f(x)>1 (1).求f(1);(2).证明函数f(x)在x属于(0,正无穷)上

单调增函数;(3).证明函数f(x)为偶函数;(4).解不等式f(x-2)-f(2x-1)<0

Answer 1

f(xy)=f(x)*f(y),得：f(1*1)=f(1)*f(1),又由f(1)>0,求得f(1)=1
(2)任取x1>x2>0,则f(x1)=f(x2*(x1/x2))=f(x2)*f(x1/x2)
因x1>x2>0,知x1/x2>1,所以f(x1/x2)>1
得
f(x2)*f(x1/x2)>f(x2)
即：f(x1)>f(x2)
函数f(x)在x属于(0,正无穷)上是单调增函数
（3）f(-1*(-1))=f(-1)*f(-1),f(x)>0,f(1)=1
得f(-1)=1
f(-x)=f(-1)*f(x)=f(x)所以f(x)是偶函数
（4）
f(x-2)-f(2x-1)<0得f(x-2)<f(2x-1)
即：f(|x-2|)<f(|2x-1|)
由函数f(x)在x属于(0,正无穷)上是单调增函数
得：|x-2|<|2x-1|
解得:x>3或x<1/2