Question

已知直线L：x=m(m<-2)与x轴交于A点，动圆M与直线L相切，并且与圆O：x2+y2=4相外切（1）求动圆的圆心M的轨

C的方程 (2)若过原点且倾角为三分之π的直线与曲线C交于M,N两点，问是否存在以M,N为直径的圆经过点A？若存在，求出m的值;若不存在，说明理由。

Answer 1

1.
设动圆的圆心M坐标(x0 ，y0)，
与其相切的已知圆 x^2 + y^2 = 4 交x轴于(-2 ，0)和(2 ，0)，
动圆M与已知圆外切，而M到L和已知圆心的距离相等 ，
∴(m - x0)^2 = (x0 - 0)^2 + (y0 - 0)^2 ，
化简得到动圆的圆心M的轨迹C的方程：y^2 = -2mx + m^2 ，
∴这是抛物线 。

2.
易求得过原点且倾角为π/3的直线为：y = √3x ，
它与曲线C的交点为：
(-m ，-√3m)和(m/3 ，√3m/3) ，
∵MN中点即所求圆心 ，
∴圆心(-m/3 ，-√3m/3) ，
半径平方 = 4m^2/3 ，
圆的方程为：(x + m/3)^2 + (y + √3m/3)^2 = 4m^2/3 ，
把A点坐标(m ，0)代入方程得 ，左右两边不等 ，
∴不存在以MN为直径的圆经过A点 。