Question

如图所示，已知CD是△ABC的高，D在AB上，且CD²=AD×DB;求证△ABC是直角三角形。

Answer 1

解： 在RT△ADC中 CD²=AC²-AD²
在RT△CDB中 CD²=CB²-BD²
又∵CD²=AD×DB
∴AD×DB=AC²-AD²
即AD×DB+AD²=AC²
∴AD（DB+AD）=AC²
即AD×AB=AC²
同理 AD×DB=CB²-BD² 依照上述方法 得 CB²=BD×AB
在△ABC中 AC²+CB²=AD×AB+BD×AB=AB（AD+BD）=AB×AB=AB²
∴△ABC是直角三角形

Answer 2

∵CD2=AD×DB
∴CD/AD=DB/CD
又∵∠ADC=∠CDB=90°
∴△ADC∽△CDB （两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴∠A=∠DCB
∵∠A+∠ACD=90°
∴∠DCB+∠ACD=90°
∴△ABC是直角三角形