Question

已知函数f(x)=x³+bx²+cx的导函数中图像关于直线x=2对称

（1）求b值
（2）若f(x)在x=1处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域
希望有详细解答过程 谢谢

Answer 1

（1）f'(x)=3x^2+2bx+c 对称轴x=2b/(-2*3)=2所以 b=-6

(2)由（1）知f'(x)=3x^2-12x+c ......(*)
因为函数有极小值，所以导函数与x轴有交点，即
判别式=......>0 (不能等于零，否则无极小值)得c<12
因为f(t)为极小值，所以*式的解为二次方程的较大的那个解
所以t=(12+根号下的（144-12c）) /6
然后整一整 得 t=(1/3)(6+根号下的（36-3c）) 注：根号下的一堆大于0所以，t>2
g(t)的取值范围 因为导函数图像的对称轴为x=2，所以x=2应在三次函数的极大值与极小值之间
所以g(t)<f(2)=8-6*4+2c<8 (注;c<12)所以g(t)<8

Answer 2

(1)f'=3x^2+2bx+c的对称轴为x=-b/3=2,故b=-6
(2)f'=3x^2-12x+c
当f'=0时f有极值
因x=1有极小值所以[12+(144-12c)^(1/2)]/6=1
c无实数解，题目有问题吧