Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）,作圆F1的两条切线，

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）,作圆F1的两条切线，设切点为M、N.
(1)若过两个切点M、N的直线恰好过点B1(0,-b)，时，求此圆的离心率；
（2）若直线M、N的斜率为-1，切原点到直线MN的距离为4（(2^(1/2))-1）,求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-（2^（1/2)）/2），-（3^（1/2）/3）)内取值，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）圆F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是(x+ )2+(y- )2= ,从而两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,又点B1在MN上,
∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,
∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e= -1.(负值已舍去)
(2)由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,由已知- =-1.
∴b=c,而原点到MN的距离为d= =|2c-a|=( )a,
∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是 ;
(3)假设这样的椭圆存在，由（2）则有- <- <- ,
∴ < < ,∴ < < ,∴ < < .故得2< <3,
∴3< <4,求得 <e< ,即当离心率取值范围是（ , ）时，直线MN的斜率可以在区间�( ,- )内取值.

Answer 2

可以自己做

Answer 3