Question

过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程。

Answer 1

由题知,OA.OB均存在斜率.设OA方程为y=kx,则OB为y=-1/kx.联立y=kx和y=x^2,得A(k,k^2).联立y=-1/kx和y=x^2,得B(-1/k,1/k^2).所以可求AB斜率为(k^2-1)/k,方程为y=(k^2-1)/kx+1，则OP斜率为-k/(k^2-1),方程为y=-k/(k^2-1)x.联立AB和OP的方程即为P的坐标.
y=-k/(k^2-1)x(1),y-1=(k^2-1)/kx(2).将(1)*(2),得y(y-1)=-x^2,即P的方程为x^2+y^2-y=0

参考:

连接AB
做OH⊥AB
△AOH的外接圆⊙O1
OH⊥AB =
⊙O1的直径为OA
同理
△BOH的外接圆⊙O2的直径为OB
所以H点为两圆的另一个交点C
设A(X1，Y1)B(X2，Y2)
相互垂直=
X1*X2+Y1*Y2=0
Y=X2
=
1+X1*X2=0
X1+X2=-1
直线AB:
Y-Y1=(Y1-Y2)/(X1-X2)*(X-X1)
Y=(X1+X2)X-X1X2
Y=(X1+X2)X+1
直线OH:
Y=-1/(X1+X2)*X
连立
得(设t=X1+X2)
X(t+1/t)=-1 ①
而Y=-X/t
t=-X/Y
代入①
X(X/Y+Y/X)=1
X^2+Y^2=Y

Answer 2

过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程。
另一方法：
解析：设A(x1,x1^2)，B(x2,x2^2)
∵OA⊥OB
向量OA•向量OB=x1x2+(x1x2)^2=0，∴x1x2=-1
AB方程：y-x1^2=(x1+x2)(x-x1)==> y-x1^2=(x1+x2)x-x1^2-x1x2==>y=(x1+x2)x+1
又OP⊥AB交AB于P
∴OP方程：y=-x/(x1+x2)==>x1+x2=-x/y
代入AB方程得x^2+y^2-y=0==> x^2+(y-1/2)^2=1/4
∴动点P的轨迹为圆，方程x^2+(y-1/2)^2=1/4