Question

一道高中圆锥曲线数学题，谢

已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为√15，求抛物线的方程。

Answer 1

设抛物线方程为y²=ax
将直线y=2x+1改写为x=(y-1)/2，代入y²=ax，消x得
2y²-ay+a=0，
由判断式△=a²-4*2a>0解得a<0或a>8，又由韦达定理有
y1+y2=a/2
y1*y2=a/2
所以，弦长²=(x1-x2)²+(y1-y2)²，将x1=(y2-1)/2，x2=(y2-1)/2代入继续化简
=[ (y1-1)/2-(y2-1)/2]²+(y1-y2)²
=(y1-y2)²/4+(y1-y2)²
= (5/4)(y1-y2)²
= (5/4) [(y1+y2)²-4y1y2]
= (5/4) [(a/2)²-4(a/2)]
= (5/4) (a²/4-2a)
依题意得(5/4) (a²/4-2a)=15，结合a<0或a>8解得a= -4或12
代入前面所设方程得所求抛物线方程为：y²=-4x或y²=12x

希望对你有帮助！↖(^ω^)↗