Question

设函数f(x)= -1/3x³+x²+(m²-1)x (x∈R), 其中m>0.

则：已知函数f(x)有三个不相同的零点0,x1,x2,且x1<x2 ，若对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立，且m的取值范围。
请提供详细解答 谢谢

Answer 1

f(x)=x(-1/3x^2+x+m^2-1)，m>0
要使f(x)=0有三个不相同的零点0,x1,x2，
则m不等于1且1+4m^2/3-4/3>0，可得m>1/2且m不等于1
f’(x)=-x^2+2x+m^2-1，易得极值点为x=1-m和x=1+m
三次函数f(x)最高次前系数为负，所以其图像在R上先递减再递增再递减，接下来自己去画草图（极大值点x=1+m>1>0没有问题，关键是极小值点x=1-m和0的位置关系）由草图易知1-m<0时不满足条件对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立，而1-m>0的草图可以满足该条件，且1<x1即f(1)<0.
1-m>0得m<1；f(1)<0得-1/√3<m<1/√3
综上：1/2<m<1/√3

Answer 2

f(x)=x(-1/3x^2+x+m^2-1)，m>0。要使f(x)=0有三个不相同的零点0,x1,x2，则m不等于1且1+4m^2/3-4/3>0，可得m>1/2且m不等于1f’(x)=-x^2+2x+m^2-1，易得极值点为x=1-m和x=1+m
三次函数f(x)最高次前系数为负接下来自己去画草图（极大值点x=1+m>1>0没有问题，关键是极小值点x=1-m和0的位置关系）由草图易知1-m<0时不满足条件对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立，而1-m>0的草图可以满足该条件，且1<x1即f(1)<0.
1-m>0得m<1；f(1)<0得-1/√2<m<1/√2。综上：1/2<m<1/√2。