Question

急求！！！！如图，已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，

如图，已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|:|AF2|=3:1.
1)求离心率
2）设向量AF1=m向量F1B，向量AF2=n向量F2C，证明m+n恒=6。

Answer 1

解：
(1)A为椭圆上的点，AC过其焦点F2，
则当AC⊥x轴时，A的坐标为A(c,b²/a) (c²=a²-b²，c>0)
则RT△F1F2A中|AF1|:|AF2|=3:1；故sin∠AF1F2=1/3，
则tan∠AF1F2=√2/4=|AF2|/|F1F2|=b²/a/(2c), 且c²=a²-b²，c>0
故a/c-c/a=√2/2 ，解之：e=c/a=√2/2
(2)证明：由e=c/a=√2/2，知b²=a²/2 ；又F1(-√2a/2,0) ;F2(√2a/2,0) ；
则椭圆为x²/a²+2y²/a²=1 ；令A(acosk,√2asink/2) ；
则向量AF1=(-√2a/2-acosk,-√2asink/2);向量AF2=(√2a/2-acosk,-√2asink/2)；
由向量AF1=m向量F1B，向量AF2=n向量F2C ；知：
B((-√2a/2-acosk)/m-√2a/2,-√2asink/(2m))；
C((√2a/2-acosk)/n+√2a/2,-√2asink/(2n)) ；
又B、C在椭圆 x²/a²+2y²/a²=1上，则：
[(-√2a/2-acosk)/m-√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2m)]²/a²=1 ；
[(√2a/2-acosk)/n+√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2n)]²/a²=1 ；
化简得：(√2+2cosk+√2m)²+4sin²k=4m²；(√2-2cosk+√2n)²+4sin²k=4n²；
有3+2√2cosk+2m+2√2mcosk=m²；3-2√2cosk+2n-2√2ncosk=n²；
则：cosk=(m²-2m-3)/[2√2(1+m)]=(n²-2n-3)/[-2√2(1+n)] (m>0；n>0)
整理有：m-3=-(n-2)，则：m+n=6 ；证毕。
终于弄完了，希望对你有所帮助！