Question

一题高一数学。。已知函数f（x）=3x^2+a，g（x）=2ax+1（a属于R）。

问 1.若函数f(x)在【0,2】上无零点，请你探究函数 y=|g(x)| 在【0,2】上的单调性。
2.设F(x)=f(x)-g(x)，若对任意的x属于（0.1），恒有-1＜F(x)＜1成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1） f(x)在[0,2]上无0点：
a>0时，显然无0点，此时g(x)=2ax+1在[0,2]上恒大于0
所以｜g(x)｜=2ax+1，显然在[0,2]上单调增.
a=0时，有0点x=0，不满足，舍去.
a<0时，0点为x=-√(-a/3)或x=√(-a/3)，显然负的那个不用去考查；由题意在[0,2]上无0点，则√(-a/3)>2，可解得a<-12.
易得：0≤x≤-1/2a时，｜g(x)｜=2ax+1，此时y=｜g(x)｜单调递减.
-1/2a<x≤2时，｜g(x)｜=-2ax-1，此时y=｜g(x)｜单调递增.
综上：a>0时，y=｜g(x)｜=2ax+1，在[0,2]上单调递增；
a<-12时，y=｜g(x)｜在0≤x≤-1/2a时单调递减；
在-1/2a<x≤2时单调递增.
注：f(x)在[0,2]上无0点这一条件要求a的范围只能是
a>0或a<-12，所以最终结果中讨论的时候也只是分这两种情况，而不是讨论所有的a属于R。

（2） 要使-1<F(x)<1，首先就要使F(0)和F(1)都在[-1,1]上.
(注：因为F(X)值域为(-1,1)，是开区间，所给定义域也是开区间(0,1)，所以这边考虑定义域区间端点的函数值时可以取闭区间，做题时这些细节一定要注意了)
由-1≤F(0)≤1和-1≤F(1)≤1可得1≤a≤2.
F’(x)=6x-2a，显然极值点为x=a/3.
因为1≤a≤2，所以1/3≤a/3≤2/3
可知极值点x=a/3在定义域(0,1)内
所以-1<F(a/3)<1(这边是不能取等号的，因为a/3在定义域内，上面F(0)和F(1)可以取等号是因为0、1都不在定义域内)
由-1<F(a/3)<1可解得0<a<3
所以综上：实数a的取值范围为1≤a≤2.

Answer 2

。。。不懂啊