Question

高一数学：将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，（我无法画图）有两种截法：让矩形一

高一数学：将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，（我无法画图）有两种截法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，哪种截法能得到最大面积的矩形？求出这个最大值。

Answer 1

第二种方法更大，(√3/3)R^2。这个题在百度知道上能搜到很多以前的回答。
下面分别探讨两种方法：
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1. 以扇形一边为边：设该边长X，它和另一边，半径组成直角三角形。另一边长√(R^2-X^2)。
S=√(R^2X^2-X^4)=√[-(X^2-R^2/2)^2+R^4/4]
当X=R/√2时，矩形最大面积是R^2/2 =200 cm^2
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2. 一边平行于AB时：设圆心到弧上两个顶点的夹角是x，平行于弦的那一边
长是2sin(x/2)R。另一条边长是cos(x/2)R-ctg(π/3)sin(x/2)R
矩形面积：两边相乘=[2sin(x/2)cos(x/2)-2sin^(x/2)/√3]R^2
由cos2x=1-2sin^x 得-sin^x=(cos2x-1)/2
所以：矩形面积=[sinx+(cosx/√3)-1/√3]R^2
求它的最大值需要求sinx+(√3/3)cosx的最大值：
asinx+bcosx的最大值是√(a^2+b^2) 证明如下：
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asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)][a/√(a^2+b^2)sinx+b/√(a^2+b^2)cosx]
由于 sin(x+y)=cosy*sinx+siny*cosx
设a/√(a^2+b^2)=cosy，b/√(a^2+b^2)=siny。
那么asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)]sin(x+y)，y=arctg(b/a)
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本题中a=1，b=1/√3。
当x+arctg(1/√3)=π/2，就是x=60°时，sin[x+arctg(b/a)]=1。
sinx+(cosx/√3)有最大值√[1+(1/√3)^2] =2/√3
矩形面积是(2/√3-1/√3)R^2 =R^2/√3
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结论：第二种方法更大，面积是 400√3/3 cm^2

Answer 2

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asinx+bcosx的最大值是√(a^2+b^2) 证明如下：
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asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)][a/√(a^2+b^2)sinx+b/√(a^2+b^2)cosx]
由于 sin(x+y)=cosy*sinx+siny*cosx
设a/√(a^2+b^2)=cosy，b/√(a^2+b^2)=siny。
那么asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)]sin(x+y)，y=arctg(b/a)
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本题中a=1，b=1/√3。
当x+arctg(1/√3)=π/2，就是x=60°时，sin[x+arctg(b/a)]=1。
sinx+(cosx/√3)有最大值√[1+(1/√3)^2] =2/√3