Question

急求答案，设函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时f（x）＞0.

1，证明f（x）是奇函数
2，证明f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
3，若f（2x）＞f（x+3)，试求x的取值范围。

Answer 1

f(x+y) = f(x) + f(y)
令 x=y=0
f(0) = f(0) + f(0)
=> f(0) =0

令 y=-x
f(0)= f(x) + f(-x)
f(x) = -f(x)
=>f(x)是奇函数
(2)
y> x
y = x+c ( 显然 c>0)

f(y) = f(x+c)
= f(x) + f(c)
> f(x) ( 因为x＞0时f（x）＞0.所以f(c) > 0 )
f(x)是增函数
3）

f（2x）＞f（x+3)
f(x)是增函数
所以
2x>x+3
∴x>3

Answer 2

1.令x=y=0,得f(0)=0
令x=x,y=-x,得f(x)+f(-x)=0，所以f(x)是奇函数
2.假设x1>x2,令x=x1,y=-x2,
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2),又因为f(x)是奇函数
f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)
又x1-x2>0,f(x1-x2)>0 所以f(x1)-f(x2)>0 f(x)在（－∞，+∞）内是增函数
3.f(x)在（－∞，+∞）内是增函数 ，2x>x+3,x>3