Question

初三数学 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C,A（-3，0），C(0,根号3）

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，A（-3，0），C(0,根号3），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等。
（1）求实数a、b、c的值
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动。当运动时间为t秒时，连结MN，将三角形BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及P的坐标。
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得B、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标
一二小题报个答案就行
第3小题，把所有情况讨论好（不要什么联立方程）
我题目是△BQP

Answer 1

因为二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴相交于点C(0, √3），所以c=√3.。
又因为当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，所以二次函数的对称轴为x=-1。
由于A（-3，0），所以B（1，0），设二次函数解析式为y=a（x-1）（x+3）
将点C(0, √3）代入解得a=-√3/3。
所以二次函数解析式为y=-√3/3（x-1）（x+3）。所以展开得y=-√3/3 x^2-2√3/3 x+√3。
所以a=-√3/3,b=-2√3/3,c=√3.
因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，
所以设过了t秒后，MB=NB=t
因为BC=2<AB=4，所以0≤t≤2。
因为点M、N均以每秒1个单位长度的速度运动
所以△BMN是等腰三角形，且不管t为多少，所得的MN总是平行的。
且BP垂直平分MN。
因为当t=2时，N=C(0, √3）M(-1, 0）
所以MN的斜率为√3，
所以BP的斜率为-√3/3。
所以直线BP的方程为y=-√3/3（x-1）
又因为直线AC的方程为y=√3/3 x+√3
所以P为两方程的交点（-1，2√3/3）。
又因为MN垂直平分BP，且BP中点为（0，√3/3）
所以直线MN方程为y=√3x+√3/3。
所以直线MN与x轴交点M为（-1/3,0.）
所以t=4/3.

（3）因为BC=2， AB=4，AC=2√3，
所以∠C=90，∠A=30，∠B=60，
因为点Q在二次函数图象的对称轴上，所以设Q（-1，y）。
因为△BMN为等腰三角形，所以BP也是∠ABQ的角平分线。
所以∠PNA=∠PBQ=30，
所以∠BPQ=60.
分两种情况：
∠PQB=90，则Q点即（-1，0）此时，Q点满足条件△BPQ相似于△ABC
∠PBQ=90，则因为PB=4√3/3，所以PQ=8√3/3
所以Q（-1，-2√3）满足条件△BPQ相似于△ABC
综上所述，满足条件△BPQ相似于△ABC的Q有两个（-1，-2√3）和（-1，0）。

Answer 2

看图片………………

Answer 3

看图片

Answer 4

第三问，设Q（-1，t），当BP=BQ时，pq关于x轴对称，所以t=-2根号3/3.
当PB=PQ时，由于b到对称轴距离=Q到x轴距离=1，所以t=0，
当PQ=QB时，BQ=4根号3/3，所以PQ=4根号3/3，所以t=-2根号3/3.