一道二次函数压轴题,高手帮忙啊!
在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为(4,0)、(0,2),将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax^2-2ax+4经过点A。(1)...
在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为(4,0)、(0,2),将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax^2-2ax+4经过点A。
(1)求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物线上;
(2)如图14-2,若点P是抛物线对称轴上的一个动点,求使|PC-PD|的值最大时点P的坐标
(3)设抛物线上是否存在点E,使△CDE是以CD为直角边的直角三角形?若存在,请求出所有点E的坐标,若不存在,请说明理由。
图片在http://hi.baidu.com/%D3%C0%85%C4%BF%DE%C6%FC/album/item/82cfb0d25802118ca9ec9afd.html# 展开
(1)求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物线上;
(2)如图14-2,若点P是抛物线对称轴上的一个动点,求使|PC-PD|的值最大时点P的坐标
(3)设抛物线上是否存在点E,使△CDE是以CD为直角边的直角三角形?若存在,请求出所有点E的坐标,若不存在,请说明理由。
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解:
1)将A(4,0)代人y=ax^2-2ax+4,得,
a*4^2-2a*4+4=0,
解得,a=-1/2,
所以抛物线为y=(-1/2)x^2+x+4,对称轴为x=1,
将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,D(-2,0)
当x=-2,y=(-1/2)*(-2)^2-2+4=0,
所以D在该抛物线上
2)在三角形PCD中,由两边之和小于第三边,
所以|PC-PD|<CD,
当P在线段DC延长线上时,|PC-PD|的值最大,为CD的长,
过C(0,4),D(-2,0)的直线为y=2x+4,
当x=1时,y=6
所以与抛物线对称轴交点为(1,6),
所以|PC-PD|的值最大时点P的坐标(1,6)
3)有两种情况,
第一种,过D作DE⊥CD,交抛物线于E,过E作EF⊥x轴于F,
显然△OCD∽△FDE,
所以EF/DF=DO/CO=1/2,
所以DF=2EF,
设F(x,0),则DF=x+2,则E[x,-(x+2)/2]
因为E在抛物线上,
所以(-1/2)x^2+x+4=-(x+2)/2
整理x^2+3x-10=0,
解得x1=-2(舍去),x2=5
所以E(5,-7/2)
第二种,过C作CE⊥CD,交抛物线于E,过E作EF⊥y轴于F,
显然△OCD∽△FEC,
所以CF/EF=DO/CO=1/2,
所以EF=CF,
设E的横坐标为x,则CF=x/2,
因为E在抛物线上所以OF=(-1/2)x^2+x+4,
因为OC=OF+CF=OF+x/2
所以(-1/2)x^2+x+4+x/2=4,
整理x^2-3x=0,
解得x1=0(舍去),x2=3
所以E(3,5/2)
所以符合条件的有两点(3,5/2),(5,-7/2)
1)将A(4,0)代人y=ax^2-2ax+4,得,
a*4^2-2a*4+4=0,
解得,a=-1/2,
所以抛物线为y=(-1/2)x^2+x+4,对称轴为x=1,
将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,D(-2,0)
当x=-2,y=(-1/2)*(-2)^2-2+4=0,
所以D在该抛物线上
2)在三角形PCD中,由两边之和小于第三边,
所以|PC-PD|<CD,
当P在线段DC延长线上时,|PC-PD|的值最大,为CD的长,
过C(0,4),D(-2,0)的直线为y=2x+4,
当x=1时,y=6
所以与抛物线对称轴交点为(1,6),
所以|PC-PD|的值最大时点P的坐标(1,6)
3)有两种情况,
第一种,过D作DE⊥CD,交抛物线于E,过E作EF⊥x轴于F,
显然△OCD∽△FDE,
所以EF/DF=DO/CO=1/2,
所以DF=2EF,
设F(x,0),则DF=x+2,则E[x,-(x+2)/2]
因为E在抛物线上,
所以(-1/2)x^2+x+4=-(x+2)/2
整理x^2+3x-10=0,
解得x1=-2(舍去),x2=5
所以E(5,-7/2)
第二种,过C作CE⊥CD,交抛物线于E,过E作EF⊥y轴于F,
显然△OCD∽△FEC,
所以CF/EF=DO/CO=1/2,
所以EF=CF,
设E的横坐标为x,则CF=x/2,
因为E在抛物线上所以OF=(-1/2)x^2+x+4,
因为OC=OF+CF=OF+x/2
所以(-1/2)x^2+x+4+x/2=4,
整理x^2-3x=0,
解得x1=0(舍去),x2=3
所以E(3,5/2)
所以符合条件的有两点(3,5/2),(5,-7/2)
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