Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使a/sin角PF1F2=c/

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使a/sin角PF1F2=c/sin角PF2F1,则椭圆的离心率的取值范围为?

答案是(根号2-1,1).请写出详细过程.谢谢.

Answer 1

解：在三角形PF1F2中，我们设PF1=x，那么PF2=2a-x
根据正弦定理
x/sin∠PF2F1=(2a-x)/sin∠PF1F2
sin∠PF1F2/sin∠PF2F1=(2a-x)/x
根据题意
sin∠PF1F2/sin∠PF2F1=a/c
(2a-x)/x=a/c
2ac-cx=ax
x=(2ac)/(a+c)
a-c<x<a+c
a-c<2ac/(a+c)
a²-c²<2ac
c²+2ac-a²>0
e²+2e-1>0
e>-1+√2或e<-1-√2(1)
2ac/(a+c)<a+c
2ac<(a+c)²恒成立(因为a>c)
且1>e>0
所以e∈（√2-1，1）