Question

高中导数：已知函数f(x)=ax-b/x-2lnx，f(1)=0

(1)若函数图像在x=1处的切线斜率是0，且A(n+1)=f`{1/[A(n)-n+1]}-n^2+1，已知A(1)=4，求证：A(n)不小于2n+2
(2)在(1)的条件下，比较Sum （从1到n）1/[1+A(i)] 与0.4大小关系

Answer 1

f(1)=0 => a-b=0 =>a=b
(1) f'(x)=a+b/x^2-2/x f'(1)=k=0 =>a+b-2=0 =>a=b=1
=>f(x)=1-1/x-2lnx f'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2
A(n+1)=f'(1/(A(n)-n+1))-n^2+1=(A(n)-n)^2-n^2+1
=A(n)^2-2nA(n)+1
用数学归纳法证明 A(n)>=2n+2
(1)A(1)=4>=2*2+2 成立
(2)假设当n=k时，
A(k)>=2k+2
则 n=k+1时 A(k+1)=(A(k)-k)^2-k^2+1 由 A(k)>2k+2 =>A(k)-k>0
=>(A(k)-k)^2-k^2+1 >= (2k+2-k)^2-k^2+1 = 2K+5>2(k+1)+2
所以 A(n+1)>2(n+1)+2 也成立
综上，对于任意n>=1,An>=2n+2
(2) sum=1/(1+A(1))+...+1/(1+A(n))
由(1)可得 A1=4 A2=9 A3= A(n)>=2n+2 =>1/(1+A(n))<=1/(2n+3)
=> sn<=1/(2+3)+...+1/(2n+3)=1/5+1/7+...+1/(2n+3)<0.4

Answer 2

由f(1)=0 得a=b
(1) f'(x)=a+b/x^2-2/x
由f'(1)=0 得a+b-2=0 =>a=b=1
∴f(x)=1-1/x-2lnx； f'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2
A(n+1)=f'(1/(A(n)-n+1))-n²+1=(A(n)-n)²-n²+1
=A²(n)-2nA(n)+1
用数学归纳法证明 A(n)>=2n+2
(1)A(1)=4>=2*2+2 成立
(2)假设当n=k时，
A(k)>=2k+2
则 n=k+1时 A(k+1)=(A(k)-k)^2-k^2+1 由 A(k)>2k+2 =>A(k)-k>0
=>(A(k)-k)^2-k^2+1 >= (2k+2-k)^2-k^2+1 = 2K+5>2(k+1)+2
所以 A(n+1)>2(n+1)+2 也成立
综上，对于任意n>=1,An>=2n+2
(2) sum=1/(1+A(1))+...+1/(1+A(n))
由(1)可得 A1=4 A2=9 A3= A(n)>=2n+2 =>1/(1+A(n))<=1/(2n+3)
=> sn<=1/(2+3)+...+1/(2n+3)=1/5+1/7+...+1/(2n+3)<0.4