Question

高中导数：设f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,(a<b<c),在x=1处取得极值，其图像在x=m处切线斜率为-3a

(1)求证：b/a属于[0,1)
(2)若函数y=f(x)在区间[s,t]上单调递增，求|s-t|的取值范围
(3)问是否存在k（k是与a,b,c,d无关的常数），当x>=k,恒有f`(x)+3a<0成立？若存在，求出k最小值，why
这个题不知道麻烦不，麻烦的话再追加。
第一问不必了,就是想问问后两问。

Answer 1

（一）对f求导：f'=3ax^2+2bx+c,且f(1)'=3a+2b+c=0,则a<0.
(1).b=0
则b/a=0 属于[0,1)
(2).b<0
因a<b,所以b/a<1
即0<b/a<1
(3)若b>0
则a+b>0 又因c>b 则 a+c>0 则3a+2b+c>0
所以b必不大于0
综上：0<=b/a<1
（二）f'(x)=3ax^2+2bx+c，f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3a+2b+c=0，a又a<b<c，得a<0，
f(x)单调递增，f'(x)>0，f'(x)=0的解为t=[-b+√(b^2-4ac)]/2a和s=[-b-√(b^2-4ac)]/2a
|s-t|=|√(b^2-4ac)/a|=-√(b^2-4ac)/a
（三）f'(m)=-3a，f"(x)=6ax+2b，当x>-b/3a时，f"(x)<0，f'(x)单调递减，又b/a属于[0,1)，所以x>0时f'(x)单调递减，所以k一定存在。当m>0，k=m，当m<0，k=-m

Answer 2

先看第一问:
对f求导：f'=3ax^2+2bx+c
且f(1)'=3a+2b+c=0
则a<0
(1).b=0
则b/a=0 属于[0,1)
(2).b<0
因a<b,所以b/a<1
即0<b/a<1
(3)若b>0
则a+b>0
又因c>b
则 a+c>0
则3a+2b+c>0
所以b必不大于0
综上：0<=b/a<1
这题比较麻烦，就答这一问了。

Answer 3

（2）f'(x)=3ax^2+2bx+c，f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3a+2b+c=0，a又a<b<c，得a<0，
f(x)单调递增，f'(x)>0，f'(x)=0的解为t=[-b+√(b^2-4ac)]/2a和s=[-b-√(b^2-4ac)]/2a
|s-t|=|√(b^2-4ac)/a|=-√(b^2-4ac)/a
（3）f'(m)=-3a，f"(x)=6ax+2b，当x>-b/3a时，f"(x)<0，f'(x)单调递减，又b/a属于[0,1)，所以x>0时f'(x)单调递减，所以k一定存在。当m>0，k=m，当m<0，k=-m