Question

已知数列{an}an≥0,a1=0,a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2, 记Sn=a1+a2+...+an,Tn=i/(1+a1)+1/(1+a1)(1+a2)+…+1/(1

已知数列{an}an≥0,a1=0,a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2, 记Sn=a1+a2+...+an,Tn=i/(1+a1)+1/(1+a1)(1+a2)+…+1/(1+a1)(1+a2)…(1+an)，当n是正整数时，求证,
(1)an<a(n+1);
(2)Sn.>n-2;
(3)Tn<3

Answer 1

1，
a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2
有a(n+1)^2+a(n+1)-2=an^2-1
即(a(n+1)-1)(a(n+1)+2)=(an-1)(an+1)
由于an≥0,所以，a(n+1)-1与an-1同号
又因为a1=0使得a1-1<0
所以对任意n∈N，均有，an-1<0
an<1恒成立
所以an^2=a(n+1)^2+a(n+1)-1<a(n+1)^2
因为an≥0，所以两边开平方有
an<a(n+1)

2，证明
由于an^2+an-1=a(n-1)^2
a(n-1)^2+a(n-1)-1=a(n-2)^2
……
a(2)^2+a(2)-1=a(1)^2
两边分别相加得
an^2+Sn-a1-(n-1)=a(1)^2
由于a1=0，an<1
所以，Sn=a(1)^2+a1+(n-1)-an^2=n-1-an^2<n-1-an^2>n-2
3，
由于a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2
有a(n+1)^2+a(n+1)-3/4=an^2+1/4
即(a(n+1)-1/2)(a(n+1)+3/2)=an^2+1/4>0恒成立
由于对任意正整数n，an≥0
所以，当正整数n>1时，an>1/2
又因为a1=0
所以，
1/(1+a1)=1
1/(1+a1)(1+a2)<1/(1+0)(1+1/2)=2/3
1/(1+a1)(1+a2)(1+a3)<1/(1+0)(1+1/2)(1+1/2)=(2/3)^2
……
1/(1+a1)(1+a2)…(1+an)<1/(1+0)(1+1/2)…(1+1/2)=(2/3)^(n-1)
左右两边各累加可得，
Tn=1/(1+a1)+1/(1+a1)(1+a2)+…+1/(1+a1)(1+a2)…(1+an)
<1+2/3+(2/3)^2+……+(2/3)^(n-1)=[1-(2/3)^n]/(1-2/3)
<1/(1-2/3)=3

Answer 2

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．
②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，
因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），
所以ak+1＜ak+2．
即当n=k+1时，an＜an+1也成立．
根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．

（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1-1=ak2，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得an2+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a12．
因为a1=0，所以Sn=n-1-an2．
由an＜an+1及an+1=1+an2-2an+12＜1得an＜1，
所以Sn＞n-2．