Question

设双曲线的一个焦点为F.虚轴的一个端点为B.如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直.那么此双曲线的离心...

设双曲线的一个焦点为F.虚轴的一个端点为B.如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直.那么此双曲线的离心率为多少?

Answer 1

x²/a²-y²/b²=1
所以 FB斜率是-b/c
所以渐近线斜率是c/b
而渐近线斜率是±b/a
所以b/a=c/b
b²=ac
b²=c²-a²=ac
c²-ac-a²=0
c为未知数
所以c=(a±a√5)/2
双曲线e>1
所以 e=c/a=(1+√5)/2

Answer 2

e=（1+根号5）/2
具体步骤：
设B(0,b),C(c,0),则K(BC)=-b/c;
双曲线的焦点在x轴上，则渐近线方式是y=+-(b/a)x
因为垂直，则（-b/c）*（b/a)=-1，即b^2=ac
两边同时除以a^2,则e^2-e-1=0 得e=（1+根号5）/2