Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2-4在x=2处取得极值，若m,n属于[-1,1]则f(m)+f'(n)的最小值

Answer 1

f(x)=-x^3+ax^2-4
f'(x)=-3x^2+2ax
f'(2)=-12+4a=0
a=3
f(x)=-x^3+3x^2-4
f'(x)=-3x^2+6x
f(x)在x=2和x=0处有极点,
当-1≤x≤0时，f'(x)≤0,f(x)单调递减，
f(0)≤f(x)≤f(-1)
-4≤f(x)≤0;
当0≤x≤1时，f'(x)≥0,f'(x)单调递增，
f(0)≤f(x)≤f(1);
-4≤f(x)≤-2;
所以当m=0时，f(m)取最小值-4;

f''(x)=-6x+6
f'(x)在x=1处有极点，
当-1≤x≤1时，f''(x)≥0,f'(x)单调递增，-9≤f'(x)≤3;
所以当n=-1时f'(n)取最小值为-9.

所以
f(m)+f'(n)的最小值为-4-9=-13