Question

设x2+y2+z2＝1，求x+2y+2z的最大值

Answer 1

1）如果您是初中生，可用二次函数的知识解答。

解：设x+2y+2z=k，则x=k-2y-2z代入x2+y2+z2=1
得 (k-2y-2z)2+y2+z2=1
(k2+4y2+4z2-4ky-4kz+8yz)+y2+z2=1
把y当成主元
得 5y2-4ky+8zy+5z2-4kz+k2-1=0
即 5y2-(4k-8z)y+5z2-4kz+k2-1=0

因为 y是实数，即此方程有实数根
△=(4k-8z)2-4×5×(5z2-4kz+k2-1)≥0
4(k-2z)2-5(5z2-4kz+k2-1)≥0
4k2-16kz+16z2-25z2+20kz-5k2+5≥0
-9z2+4kz-k2+5≥0

设f(z)= -9z2+4kz-k2+5
则开口向下的的抛物线f（z）的顶点必在x轴上方或在x轴上
即 顶点的纵坐标 大于等于0

即【4×(-9)×(-k2+5)-(4k)2】/[4×(-9)]≥0
【二次函数y=ax2+bx+c的顶点（-b/2a，[4ac-b2]/4a）】

20k2-180≤0
k2≤9
-3≤k≤3
所以x+2y+2z最大值3

2）如果您是高中生，用柯西不等式很方便
三元柯西不等式：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≤(ax+by+cz)2（且仅当a/x=b/y=c/z时取等号）

所以 (12+22+22)(x2+y2+z2)≤(1×x+2×y+2×z)2
即 9×1≤(x+2y+2z)2
-3≤x+2y+2z≤3
所以x+2y+2z最大值3

Answer 2

大学方法：拉格朗日乘子法
F(x,y,z)=x+2y+2z+k(x^2+y^2+z^2-1) 令
F'x=1+2kx=0 ①
F'y=2+2ky=0 ②
F'z=2+2kz=0 ③
x^2+y^2+z^2-1=0 ④
联立①②③④得x=1/3，y=2/3，z=2/3
在点(1/3，2/3，2/3)处取最大值，即
x+2y+2z 的最大值为3

Answer 3

有句话，很珍惜的话，要对你说，因为一年或许才能说一次，我想现在是该大声说出来的时候了，我要大叫……春节快乐：）