Question

设f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(1/3)=1。若f(x)+f(2-x)<2，求x的取值范围。

Answer 1

因为f(xy)=f(x)+f(y)，且f(1/3)=1
所以f（1/9）=f(1/3 *1/3）=f（1/3)+f(1/3)=2
又因为f（x（2-x））=f(x)+f(2-x)<2=f（1/9）且f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以x（2-x）>1/9且x>0和2-x>0（因为f(x)定义在(0,+∞)上）
所以解得1-2√2/3<x<1+2√2/3且x>0和x<2
所以x的取值范围为0<x<1+2√2/3。

Answer 2

因为f(xy)=f(x)+f(y)，
所以f(x)+f(2-x)=f(x(2-x))<2,
又因为f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)=2
即f(x(2-x))<f(1/9)
又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以x(2-x)>1/9
所以结果自己算吧

Answer 3

f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1 f(1*1)=f(1)+f(1) f(1)=0
令x=y=-1 f(1)=f(-1)+f(-1) f(-1)=0
令y=-1 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x) 函数为偶函数，在(-∞，0)为增函数
令x=y=1/3 f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
当x>0时为减函数， f(x)+f(2-x)=f(2x-x^2)<2=f(1/9)
2x-x^2>1/9 解得 1-2√2/3<x<1+2√2/3
当x<0时为增函数 2x-x^2<1/9
解得 x>1+2√2/3(舍去) x<1-2√2/3
且x<0,所以解集为x<0
综合解集为 (-∞，0)∪（1-2√2/3，1+2√2/3）

Answer 4

f(0)=0
f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)<2
f(2x-x2)<f(1/9)
f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以
x>0,2-x>0,2x-x2<1/9
2√2/3+1<x<2