设f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1。若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围。
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因为f(xy)=f(x)+f(y),
所以f(x)+f(2-x)=f(x(2-x))<2,
又因为f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)=2
即f(x(2-x))<f(1/9)
又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以x(2-x)>1/9
所以结果自己算吧
所以f(x)+f(2-x)=f(x(2-x))<2,
又因为f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)=2
即f(x(2-x))<f(1/9)
又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以x(2-x)>1/9
所以结果自己算吧
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f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1 f(1*1)=f(1)+f(1) f(1)=0
令x=y=-1 f(1)=f(-1)+f(-1) f(-1)=0
令y=-1 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x) 函数为偶函数,在(-∞,0)为增函数
令x=y=1/3 f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
当x>0时为减函数, f(x)+f(2-x)=f(2x-x^2)<2=f(1/9)
2x-x^2>1/9 解得 1-2√2/3<x<1+2√2/3
当x<0时为增函数 2x-x^2<1/9
解得 x>1+2√2/3(舍去) x<1-2√2/3
且x<0,所以解集为x<0
综合解集为 (-∞,0)∪(1-2√2/3,1+2√2/3)
令x=y=1 f(1*1)=f(1)+f(1) f(1)=0
令x=y=-1 f(1)=f(-1)+f(-1) f(-1)=0
令y=-1 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x) 函数为偶函数,在(-∞,0)为增函数
令x=y=1/3 f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
当x>0时为减函数, f(x)+f(2-x)=f(2x-x^2)<2=f(1/9)
2x-x^2>1/9 解得 1-2√2/3<x<1+2√2/3
当x<0时为增函数 2x-x^2<1/9
解得 x>1+2√2/3(舍去) x<1-2√2/3
且x<0,所以解集为x<0
综合解集为 (-∞,0)∪(1-2√2/3,1+2√2/3)
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f(0)=0
f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)<2
f(2x-x2)<f(1/9)
f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以
x>0,2-x>0,2x-x2<1/9
2√2/3+1<x<2
f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(1/9)=2
f(x)+f(2-x)<2
f(2x-x2)<f(1/9)
f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数
所以
x>0,2-x>0,2x-x2<1/9
2√2/3+1<x<2
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