Question

高三数学 求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)内接矩形面积最大值

Answer 1

根据椭圆的三角函数方程x=acos（θ），y=bsin（θ），内接矩形面积为S=2x*2y=2acos（θ）*2sin（θ）=2absin（2θ），故最大值为2ab。

Answer 2

设椭圆上一点为（acost，bsint）
内接矩形，长=｜2acost｜,宽=｜2bsint｜
S=2a│cost｜×2b｜sint│
=2ab│sin2t│
｜sin2t｜≤1
即当│sin2θ│=1时
内接矩形面积最大为2ab

Answer 3

设椭圆上一点为（acosθ，bsinθ）
矩形面积为过该点与x轴、y轴平行的直线跟x轴、y轴围成的面积的4倍，如下
S=4（│abcosθsinθ│）
=2ab│sin2θ│
≤2ab
即│sin2θ│=1
内接矩形面积最大为2ab