Question

已知函数f(x)=-x³+3x²+9x+a

1.求f(x)的单调区间
2.若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值

Answer 1

1：用^来表示次方
f(x)=-x^3＋3x^2+9x+a
则f（x）的导数f’(x)=-3x^2+6x+9
令f’（x）=0
得x=-1或x=3
所以x=-1，x=3为函数极值点
令f’（x）<0，即x>3或x<-1
根据导数性质知
f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上单调递减
在（-1，3）单调递增，即x=-1为f（x）极小值点，x=3为函数极大值点
2：因为f（x）在[-2,-1]上单减，在[-1,2]上单增
所以f（x）在区间[-2,2]上的极大值为f（-2）或f[2]，最小值为f（-1）
而f（-2）=8+12-18+a=2+a
f（2）=-8+12+18+a=22+a>f（2）
即最大值为f（2）=22+a=20，所以a=-2
所以其在区间[-2,2]上的最小值为
f（-1）=1+3-9-2=-7

Answer 2

1、
递增则f'(x)=-3x²+6x+9>0
x²-2x-3<0
-1<x<3
同理递减f'(x)<0
x<-1,x>3

增区间(-1,3)
减区间(-∞,-1)∪(3,+∞)

2、
-2<x<-1递减
-1<x<2递增
所以x=-1最小
最大载边界
f(-2)=2+a
f(2)=22+a
所以最大=22+a=20
a=-2
所以最小=f(-1)=1+3-9+a=-7