高中数学椭圆题求解(麻烦详细讲一下,谢谢~)

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,离心率为√3/2,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C交于A、B,若AF向量=3FB向量,则k=?答案:√2非常感谢~... 椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ,离心率为√3/2 ,过右焦点F且斜率为k (k>0)的直线与C交于A、B,若AF向量=3FB向量,则k=?

答案:√2

非常感谢~
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wjl371116
2011-02-17 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
知道合伙人教育行家
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椭圆C:x²/a²+ y²/b² = 1 ,离心率为√3/2 ,过右焦点F且斜率为k (k>0)的直线与C交于A、B,若AF向量=3FB向量,则k=?
解; 设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)
e=c/a=√3/2,故a=2c/√3, b=√(a²-c²)=√(4c²/3-c²)=c/√3=a/2.
故椭圆方程可改写为:3x²+12y²=4c².................(1)
设直线方程为y=k(x-c), 即x=(y/k)+c,代入(1)式得:
3(y/k+c)²+12y²=4c², 3(y²/k²+2cy/k+c²)+12y²=4c²,3y²+6cky+12k²y²-c²k²=0
于是得:3(1+4k²)y²+6ck²y-c²k²=0
故y₁+y₂=-2ck²/(1+4k²)..............(1)
y₁y₂=-c²k²/3(1+4k²)...............(2)
∵│AF│/│BF│=│y₁│/│y₂│=3, ∴│y₁│=3│y₂│, 又因为 y₁与y₂异号,
故有y₁=-3y₂代入(1)(2)并化简得:
y₂=ck²/(1+4k²)...........................(3)
3(y₂)²=c²k²/3(1+4k²)..................(4)
将(3)代入(4)得等式:
3[ck²/(1+4k²)]²=c²k²/3(1+4k²),(消去c²,提公因式)
[k²/(1+4k²)][3k²/(1+4k²)-1/3]=0
k≠0,故有3k²/(1+4k²)-1/3=0
化简得9k²-(1+4k²)=0, 5k²=1, 故k=±√(1/5).
dk_gx
2011-02-17 · TA获得超过112个赞
知道答主
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∵e=√3/2且a²-b²=c² ∴c=(√3/2)a , b=a/2,代入椭圆方程,化简得x²+4y²=a²
设直线方程为y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x=c+(y/k),代入化简后的椭圆方程,得(4+(1/k²))y²+2cy/k-b²=0
则y1+y2=-2kc/(4k²+1)①
y1*y2=-b²k²/(4k²+1)②
∵AF向量=3FB向量 ∴y1=-3y2,代入①得:y2=kc/(4k²+1)③
代入②得:y2²=b²k²/(4k²+1)④
③²=④,再加上c=(√3/2)a , b=a/2,得4k²+1=9,故k=√2
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