Question

求解八年级下数学题一道。

如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，这条抛物线的顶点是M（1，– 4），且过点（4，5）．
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) P为线段BM上的一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q，若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），四边形PQAC的面积能否等于7？如果能，求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．
(3) 设直线m是抛物线的对称轴，是否存在直线m上的点N，使以N、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1.设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k, h=1 ,k=-4
把（4,5）代入可求的a=1.所以此抛物线表达式为y=(x-1)^2-4
2.A(-1,0) B(3,0) C=(0,-3) MB=(2,4) 设P(2x+1,4x-4) 0<x<1
则Q(2x+1,0) S四边形PQAC=S△AOC+S梯形PQOC=3/2+(4-4x+3)(2x+1)/2=-4x^2+5x+5
S四边形PQAC=7 得: 4x^2-5x+2=0 △=b^2-4ac=-7<0 x无解
四边形PQAC的面积不能等于7
3.设N(1,y) 则BN=(-2,y) CN=(1,y+3) CB=(3,3)
N、B、C为顶点的三角形是直角三角形，所以BN*CN=0或BN*CB=0或CN*CB=0
即-2+y(y+3)=0或-6+3y=0或3+3(y+3)=0
y=(-3±√17)/2 或y=2或y=-4
N点坐标为(1,(-3+√17)/2)或(1,(-3-√17)/2)或(1,2)或(1,-4)

Answer 2

1.设抛物线的表达式为y=a(x-1)2-4,把（4,5）代入可求的a=1.所以此抛物线表达式为y=(x-1)2-4