Question

一个数学问题！

四边形ABCD是正方形，点P是正方行内一点，角PAD=角PDA，求证三角形PBC是正三角形！

根据文字应该能画出图吧！这题对于我来说很难！求高手解答！
角PAD=角PDA＝15度

Answer 1

还少条件吧若是角PAD=角PDA=15度，则三角形PBC是正三角形的结论可证
证明：过点D作PE垂直AP交AP的延长线于E，过点B作BF垂直AP于F
所以角PED=角AED=90度
角BFA=角BFP=90度
因为四边形ABCD是正方形
所以角BAD=角ABC=90度
AD=AB=BC
因为角PAD=角PDA=15度
角DPE=角PAD+角PDA
所以PA=PD
角DPE=30度
在直角三角形PED中，角PED=90度，角DPE=30度
所以DE=1/2PD
所以DE=1/2PA
因为角BAD=角BAP+角PAD=90度
所以角BAP=75度
因为角BAP+角BFA+角ABF=180度
所以角ABF=15度
所以角PAD=角BAF=15度
角BFA=角AED=90度
所以三角形BAF和三角形ADE全等（AAS_）
所以AF=DE
所以AF=1/2AP
因为AF+PF=AP
所以AF=PF
因为角BFA=角BFP=90度
BF=BF
所以三角形BFA和三角形BFP全等(SAS)
所以AB=PB
角ABF=角PBF=15度
所以PB=BC
所以三角形PBC是等腰三角形
因为角ABC=角ABF+角PBF+角PBC=90度
所以角PBC=60度
所以三角形PBC是正三角形
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Answer 2

差个条件，若是角PAD=角PDA=15度，则三角形PBC是正三角形的结论可证
证明：过点D作PE垂直AP交AP的延长线于E，过点B作BF垂直AP于F
所以角PED=角AED=90度
角BFA=角BFP=90度
因为四边形ABCD是正方形
所以角BAD=角ABC=90度
AD=AB=BC
因为角PAD=角PDA=15度
角DPE=角PAD+角PDA
所以PA=PD
角DPE=30度
在直角三角形PED中，角PED=90度，角DPE=30度
所以DE=1/2PD
所以DE=1/2PA
因为角BAD=角BAP+角PAD=90度
所以角BAP=75度
因为角BAP+角BFA+角ABF=180度
所以角ABF=15度
所以角PAD=角BAF=15度
角BFA=角AED=90度
所以三角形BAF和三角形ADE全等（AAS_）
所以AF=DE
所以AF=1/2AP
因为AF+PF=AP
所以AF=PF
因为角BFA=角BFP=90度
BF=BF
所以三角形BFA和三角形BFP全等(SAS)
所以AB=PB
角ABF=角PBF=15度
所以PB=BC
所以三角形PBC是等腰三角形
因为角ABC=角ABF+角PBF+角PBC=90度
所以角PBC=60度
所以三角形PBC是正三角形

Answer 3

过P作PE垂直AD于E ，延长EP交BC于F
因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，所以PF⊥BC。
因为∠PAD=∠PDA=15°
所以△PAD是等腰三角形
而PE⊥AD
所以EF为AD的垂直平分线
所以PB=PC
所以△PBC是等腰三角形
设正方形ABCD边长为a
那么在RT△PAE 中
PE=AE*tan15°=0.5a*tan15°
则PF=EF-PE=a-0.5a*tan15°
而tan∠PBC=PF/BF= （a-0.5a*tan15） / 0.5a=√3
所以∠PBC=60°
而△PBC是等腰三角形
所以△PBC是等边三角形
备注：tan15°=2 - √3 “√”表示根号

Answer 4

按你给的条件 P点可以是中线上任一点，PBC是正三角形是不成立的

Answer 5

还少条件吧，应该是角PAD=角PDA=15度
证明：过D点作DE⊥AP，垂足为E，过B作BF⊥AP，垂足为F。由三角形外角与内角关系，得∠DPE＝30度∴DE＝1/2DP=1/2AP。∵AD⊥AB AE⊥BF∴∠DAE＝∠ABF（一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等）∴Rt △ADE≌Rt △BAF∴AF＝DE＝1/2AP∵BF垂直平分AP∴BA＝BP同理：CD＝CP又AB＝BC＝CD所以BP＝BC＝CP 即△PBC是正三角形