Question

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+x*f'(x)>x^2

下面的不等式在R上恒成立的是
f(x)>0 f(x)<0 f(x)>x f(x)<x
解释的通俗一点好吗，要不看不懂啊，别从别的地方复制啊，那些我看了，看不懂

Answer 1

这是我自己在word里面打的，因为粘贴过来很多上标和符号就乱了，所以用了截图，不是从别的地方复制的，看不懂的话可以和我讨论。

追问

谢谢你的解答，辛苦了，我再问你两个问题：

1. 为什么令F(x)=x^2f(x)-x^4/4,而不是等于别的，这是根据什么确定的？

2. 为什么x^2/4一定大于0？
   

追答

已知条件提到2f(x)+xf'(x)，要利用这个条件不难想到它是某一个函数的导函数. 联想到x^2f(x)的导函数为2xf(x)+x^2*f'(x)，所以提出来一个x，就是x[2f(x)+xf'(x)]。要构造一个导函数为题目中 已知条件的形式，就要往已知上面凑。所以想到令F（x）=x^2f(x)-x^4/4. 这样的话，对其求导可以凑出题目中的已知条件，从而加以利用，至于怎么想到凑一项x^4/4， 因为其求导以后为x^3， 提出来一个x以后正好是x^2，和题目中不等式右边一样。

第二个问题，因为x^2>=0(别告诉我你这都不知道，二次幂永远为非负)，所以f(x)>x^2/4>=0,故f(x)>0
注意，因为f(x)大于一个大于等于零的式子，所以f(x)恒大于零，而不是大于等于0