Question

线性代数副对角线行列式公式问题。为何负一的指数可以直接用那个表示？我的想法是奇数偶数分开写。验证了

线性代数副对角线行列式公式问题。为何负一的指数可以直接用那个表示？我的想法是奇数偶数分开写。验证了下这样确实好像没错但是不知道是什么思路写出来的。求解答。

Answer 1

电脑出了毛病。所以回答没有及时提交。

1）把副对角线上的元素通过交换使元素在主对角线上排列，需要经过n(n-1)/2次交换，每交换一次，就要乘一个（-1），所以 （-1）上的指数就是那样的了。

2）交换方法：（无论行变换还是列变换，也不论从左至右还是从下至上，结果都一样。）假定进行列变换，从左至右进行 ①把第一列（逐列）换到第n列，需要进行 n-1 次交换（1->2、2->3、...、n-1->n）；②把第二列（已经是第一列了）逐列【换】到第 n-1 列，要经过 n-2 次交换；。。。最后把 n-1 列【换】到第二列 同时 把第 n 列【换】到第一列要经过 1 次交换。总共就经过了 1+2+3+...+n-1 次交换，所以 1+2+3+...+n-1=[1+(n-1)]*(n-1)/2=n(n-1)/2 。

3）如果你能找到分别用奇数和偶数表示的表达式，我想也应该能够通过合适的推证，归并为这个统一的形式。我们一起来“钻”一下这个《牛角尖》有兴趣吗？（你钻牛角尖，我来尝试归并。呵呵！不过也不敢担保。）

追问

啊呀好牛！我想错了的说。。我是想用第一种可是我想成交换的次数是n/2。然后因为n的奇数偶数情况不一样所以分成两种情况。请问哪里出错了😭😭😭

追答

没有错啊？
偶数时交换 n/2 次 ；奇数时交换 （n-1)/2 次。应该可以各自得出一个表达式来呀。

追问

😆是嘛。那你是怎么得出交换了n(n-1)/2这个结论呢。还有既然你都说了你看看能把奇数偶数那两个像你说的那样归并到这个公式里来么！

顺带一提第二个方法好牛😭😭😭为什么我怎么想不到。

追答

这应该容易办到啊？

n为偶数时
(-1)^(n/2)=(-1)^(n-1)*n/2 【∵n为偶数，∴n-1为奇数∴(n-1)(n/2)与(n/2)同奇同偶】

n为奇数时
(-1)^(n-1)/2=(-1)^[n*(n-1)/2] 【∵n为奇数∴n*(n-1)/2与（n-1)/2 同奇同偶】

∴无论n为奇数还是偶数，系数都可以用 （-1）^n(n-1)/2 来表示。